Теория множеств является универсальной в том смысле, что элементами множеств могут быть абсолютно любые объекты. В математике такими объектами обычно являются числа, но ими могут быть и люди, и здания, и трамваи. А в лингвистике — прежде всего графемы. В качестве таких графем интересно взять японские иероглифы!

 

Письменности в большинстве своём являются фонетическими. Среди них выделяют алфавитные (латиница), консонантные (арабское письмо), силлабические (хирагана, деванагари) письменности. Их графемы можно представить в виде двумерного вектора с графическим и фонетическим  компонентом. Например, одну из букв индийского письма деванагари можно записать как त, ta.

Иероглифы встречаются не только в китайском и японском письме, но также в египетском письме, письме майя и других, но далее речь пойдёт только о японских иероглифах. Отличие иероглифа от фонетического знака заключается в том, что у него появляется третий компонент — семантический! Таким образом, он представляет собой трёхмерный вектор, обладающий написанием, чтением и значением (и чтений, и значений у японского иероглифа может быть несколько). Например, (日, jitsu, ‘день’), (日, nichi, ‘солнце’).

Теперь обратимся к теории множеств. Подобно тому, как для чисел вводятся алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления, для элементов множества тоже существуют свои алгебраические операции — объединения, пересечения, разности, симметрической разности и дополнения. При операции объединения множеств U нужно взять все их элементы, при пересечении ∩ — только общие. Для нахождения разности множеств \ нужно убрать из первого множества его элементы, общие со вторым множеством. А симметрическая разность Δ представляет собой разность объединения и пересечения. При этом объединение является аналогом сложения, а пересечение — умножения. Например, A: {1, 3, 4}, B: {1, 4, 5}. Тогда AUB = {1, 3, 4, 5}, A∩B = {1, 4}, A \ B = {3}, AΔB = {3, 5}.

Если рассматривать иероглиф как множество его чтений или значений, то к нему легко применимы все операции теории множеств, кроме операции дополнения. Что означает дополнение элемента? Это — множество всех элементов, кроме данного, в рамках некоторого универсального множества, определяемого в зависимости от задачи. Например, дополнением к русской букве {ш} в рамках современной русской кириллицы будут все буквы кириллицы, кроме {ш}. Чтением японского иероглифа может быть слог, морфема или целое слово, поэтому универсальное множество здесь не имеет смысла. Тем более это относится и к семантике иероглифов.

Приведём примеры применения теории множеств к чтениям и значениям иероглифа, для наглядности подобрав примеры, когда чтение и значение частично совпадают. Нижний индекс y указывает на фонетический компонент, а z — на семантический компонент.

 

文_y = {mon, fun, fumi}, 門 _y = {mon, kado}.

(文U門) _y = {mon, fun, kado, fumi}, (文∩門) _y = {mon},

(文 \ 門) _y = {fun, fumi}, (文Δ門) _y = {fun, kado, fumi}.

Значение иероглифа 文 “текст, письменность, литература”, а 門 — “ворота”.

市_z = {город, рынок}, 町 _z = {город, улица}.

(市U町) _z = {город, рынок, улица}, (市∩町) _z = {город},

(市 \ 町) _z = {рынок}, (市Δ町) _z = {рынок, улица}.

 

Вернёмся к графическому компоненту иероглифа. Теоретически иероглиф можно представить и как множество черт. Большинство иероглифов включает в себя вертикальные или горизонтальные черты, но поскольку они встречаются в совершенно разных комбинациях, говорить об их объединении или пересечении — то есть применять операции теории множеств, не имеет смысла.

Поэтому лучше рассматривать иероглифы как множество ключей (каждый иероглиф обладает так называемым ключом, своей определяющей частью, всего насчитывается 214 ключей) или других значимых элементов. Но даже тогда в общем случае для самих иероглифов нельзя ввести ни одну из теоретико-множественных операций. Это связано с тем, что множество, получающееся при объединении, пересечении или разности двух иероглифов, в общем случае не будет иероглифом! (При объединении или пересечении фонетических и семантических компонентов мы не выходили за рамки фонетики и семантики). Исключения весьма редки, хотя возможны.  Например, при объединении двух иероглифов “солнце” и “луна” образуется иероглиф со значением “светлый”: (日U月) _x = 明_x. При этом операция объединения, очевидно, не будет симметричной, так как иероглифа, соответствующего множеству (月U日) _x , не существует!

Возьмём множество иероглифов, обладающих одинаковым ключом. При этом сам ключ тоже должен представлять собой иероглиф, иначе его нельзя рассматривать как элемент множества. К примеру, ключ №149 言 “говорить” является иероглифом, а ключ №40 (“крышечка”) как верхняя часть 安 “спокойный, дешёвый” — нет. Кроме того, у ключа могут быть разные написания (аллографы), которые в данной модели будем считать идентичными. Например, ключ №61 心 “сердце” может предстать как в стандартной (忘 “забывать”), так и в изменённой форме (性 “природа, пол, род” — ключ слева).

Казалось бы, если ключ является иероглифом, то для множества иероглифов с одинаковым ключом можно ввести операцию пересечения: (抱∩押)_x = 手_x (抱 “обнимать, охватывать”, 押 “давить, нажимать”, 手 “рука”). Однако в общем случае это не так: ведь у иероглифов с одним ключом могут найтись общие элементы, помимо ключа, например: (姉∩婦)_x ≠ 女_x (姉 “старшая сестра”, 婦 “дама”, 女 “женщина”).

Рассмотрим произвольный иероглиф H и обозначим его ключ через K, считая K подмножеством H. Тогда операции пересечения и объединения (H ∩ K) _x , (H U K) _x определены, если K является иероглифом. Очевидно, что (H ∩ K) _x = K _x ; (H U K) _x = H _x. Операцию пересечения можно расширить на любое число иероглифов с одним ключом: (H1 ∩  H2 ∩  H3 ∩ … ∩ Hn ∩  K) _x = K _x.

Для примера возьмём ключ ‘дерево’ 木 и несколько иероглифов с этим ключом: 村 “деревня”, 桜 “сакура”, 柱 “столб, колонна”, 机 “стол”. Тогда (木∩柱)_x = (村∩桜)_x = 木_x; (木U 村)_x =  村_x; (木U机)_x =  机_x.

Для определения разности множеств нам требуется не только наличие пары (H, K), но и существование иероглифа (H / K)_x. Очевидно, что в общем случае такого иероглифа не существует, и операцию разности множеств можно ввести лишь для ограниченного числа случаев. Например, рассмотрим 言 “говорить”, 計 “вычислять”, 訪 “посещать”, 訓 “наставление, кунное чтение”. И тогда мы можем построить их разность: (計 \ 言)_x = 十、(訓 \ 訪)_x = 川. Ещё реже существует симметрическая разность двух множеств: (木Δ 村)_x =  寸_x; (計 Δ 言)_x = 十_x  .