Моделирование ряби [гравитационных волн], возникающей при слиянии двух черных дыр, в пространстве-времени. (Изображение: Хенце/НАСА)

Пролог

Начну издалека, с вопроса: является ли рай, куда поместил Создатель Адама и Еву, тем же самым местом, что и Царство Небесное? – Разумеется, да, что за странный вопрос, – скажут мне. Ведь человек, спасшийся милостью Божьей после Второго пришествия, попадает в Царство Небесное, где пребывает в райских условиях вечно. Но правилен ли этот ответ? – Чтобы ответить уже на этот вопрос, зададимся следующим: были ли наши далёкие предки, помещённые в рай, смертны? – Определённо нет, ведь смерть – это зло, а Бог зла не творит! Но тогда, – продолжая наши вопросы, – были ли они бессмертны? – И это вряд ли, тогда непонятным бы становилось предостережение Создателя о том, что «если отведаете плод с древа познания добра и зла, смертью умрёте». Ведь первозданные сущности – ангелы, сотворённые бессмертными, даже после того, как некоторые из них отпали от Бога, остались бессмертны. Но тогда в каком же состоянии пребывали наши далёкие предки в раю? – В состоянии выбора! Создатель и поместил их в райские условия для этого. Попутно решался вопрос и с именами для каждой вещи. Ведь божественные имена Создатель дать человеку не мог, потому что этими именами создавался мир; попади они в руки человека, человек мог бы ими этот мир разрушить (как мы сейчас имеем возможность наблюдать ядерный шантаж, грозящий существованию нашей цивилизации). – Выбор между чем и чем? – Между вкушением от плода с древа познания добра и зла и от плода с древа жизни – символа Христа, ведь Он неоднократно говорил об этом: «Ибо так возлюбил Бог мир, что отдал  Сына Своего Единородного, дабы всякий, верующий в Него, не погиб, но имел жизнь вечную», «Я есть путь, и истина, и жизнь; никто не приходит к Отцу, как только через Меня», «ядущий Мою Плоть и пиющий Мою Кровь имеет жизнь вечную, и Я воскрешу его в последний день» и т.д.

Сделав неправильный выбор и отделившись от Бога, они совершили грех (всегда, когда мы делаем неправильный выбор, мы отделяемся от Бога, т.е. совершаем грех!) и разделились в себе на внутреннее и внешнее (в них открылось сознание!) – выпали из Единства своего нетленного тела, превратившегося в тленное, и бессмертной души (соединение которых состоится теперь уже только после всеобщего воскресения и то не у всех, увы), «зная добро и зло». Великий Пророк выразил это в своей книге Бытия наивно и просто: «… и узнали они, что наги». Сразу же к древу жизни был послан херувим охранять его «пламенным мечом обращающимся», чтобы первые люди не поели плода с этого древа, обессмертив свой грех и отрезав, таким образом, себе путь к спасению навсегда! А наши Адам и Ева были изгнаны «Господом Богом из сада Едемского». Она – с обетованием: – «умножая умножу скорбь твою в беременности твоей; в болезни будешь рожать детей; и к мужу твоему влечение твое [т.е. дети будут рождаться от похоти, что называется первородным грехом – «Се бо, в беззакониих зачат есмь и во гресех роди мя мати моя», как пел в своём 50 псалме (49 у евреев) царь Давид; этот грех снимается водным крещением, почему Иисус и принял крещение от Иоанна, чтобы снять первородный грех своей матушки – Богородицы!], и он будет господствовать над тобою». Адам же – с обетованием: – «в поте лица твоего будешь есть хлеб, доколе не возвратишься в землю, из которой ты взят; ибо прах ты и в прах возвратишься». Изгнание из рая и даёт, наконец, ответ на наш первый вопрос: из Царства Небесного не изгоняют, человек, попавший туда, спасён и пребывает в жизни вечной! Но самое главное, что открыл Создатель нашим далёким предкам, а стало быть, и нам, заключалось в следующем: «за то, что ты … ел от дерева, о котором Я заповедал тебе, сказав: не ешь от него, проклята земля за тебя». Долго я размышлял над тем, в чём же заключается это проклятье. На ум приходили всякие малозначимые вещи (не для нашего бытия малозначимые, но для понимания основ мирозданья), например, то, что жизнь всего живого, не только людей, превратится после первого греха Адама в постоянную борьбу за выживание, сильные или хитрые будут пожирать слабых или чистых сердцем. Эта и ей подобные вещи – скорее следствие, а в чём причина, в чём на глубинном уровне проявляется это проклятие? Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем посмотреть на это глазами современной математики и физики.

Понятие кривизны

Начнём вот с какого вопроса. Может ли человек, живущий на поверхности Земли, т.е. на сферической поверхности, не выходя в космос, чтобы увидеть Землю со стороны, узнать, что Земля круглая? – Да, для проверки этого есть несколько критериев, приведу один, о котором говорил нам на лекции профессор Всеволод Васильевич Шаронов осенью 1964 года. Если вы находитесь летом в Новом Петергофе на пляже, например, недалеко от Монплезира, то далеко на горизонте видите зубчики домов Ленинграда; если вы входите в воду, эти зубчики постепенно скрываются за горизонтом. «Это доказывает нам «шаронообразность» Земли» – заключал наш профессор, показывая пальцем на свою голову. Но, строго говоря, это свидетельствует только о кривизне поверхности Земли (и поверхности головы нашего профессора тоже). Точный ответ на наш вопрос дал Магеллан, доказав своим путешествием, что Земля круглая. Кстати, это один из критериев, которые давал нам и В.В. Шаронов на лекции. Ну, а если у нас нет поблизости Нового Петергофа или испанских каракк, чтобы доставить нас по воде вокруг света, а есть только способность рассуждать и делать выводы, сможем ли мы в этом случае определить сферичность земной поверхности и вообще сферы (включая и трёхмерную)? Для этого мы должны прикоснуться к понятию кривизна пространства, как определяют её математики и интерпретируют физики.

Сначала немного истории. Она начиналась с Карла Фридриха Гаусса, а именно, с его интереса к знаменитому пятому постулату Евклида – постулату о параллельных прямых. Промучившись какое-то время над его доказательством, он пришёл к мысли, что может быть действительно этот постулат не зависит (т.е. не выводится) от других аксиом и, стало быть, мы можем принять какой-то другой постулат (например, противоположный пятому) и строить другую – «неевклидову» (как он её назвал) – геометрию. Он принял в результате следующий постулат: через точку, лежащую вне прямой, можно провести не менее одной прямой, параллельной первой (я даю его в формулировке Н.И. Лобачевского). Гаусс начал строить на основе этого постулата и других евклидовых аксиом новую геометрию и продвинулся довольно далеко, но не опубликовал своих построений, опасаясь, как он говорил в переписке, «крика беотийцев» (народ в древней Греции, отличавшийся своей недалёкостью). Вот что он пишет своему коллеге Францу Тауринусу в 1824 году (за два года до открытия этой геометрии Н.И. Лобачевским!): «я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной, значение которой a priori установлено быть не может». «В другом письме он определяет значение этой постоянной как 1/, где  обозначает кривизну» (цитируется мною из статьи «Аксиома параллельности Евклида» в Википедии). Вас не должен смущать знак минуса под корнем, т.к. гауссова кривизна открытой им геометрии отрицательна. «Замечательным свойством гауссовой кривизны является то, что она не меняется при изгибании поверхности [т.к. является внутренней характеристикой её геометрии!]. Отсюда ясно, что во всех точках цилиндра, например, гауссова кривизна равна нулю. Ведь цилиндр получается изгибанием куска плоскости, а кривизна плоскости равна нулю» [Н.Я. Виленкин, ст. «О кривизне» в журн. «Квант», №4, 1992].

«Силу» внутренней характеристики геометрии поверхности, её «несгибаемость» можно продемонстрировать на примере кипы, которая изготавливается так, чтобы плотно прилегать к «сферическим» частям головы. Попробуйте «разгладить» эту куполообразную поверхность на ровной доске (подобие плоскости). У вас ничего не получится. Создаётся впечатление, что какая-то сила не позволяет сферической поверхности ровно «распластаться» на плоскости, – она и плоскость имеют разные геометрии! Эту разность геометрий почувствовали в те времена и великий Гаусс, и позже его ученик гениальный математик Бернхард Риман, и наш великий геометр Николай Иванович Лобачевский, пытавшийся даже измерить кривизну космического пространства по результатам только что измеренных расстояний до звёзд. В последнем случае речь идёт о сумме углов треугольника, которая в случае евклидовой геометрии равна 180 градусам, а в случае неевклидовой, открытой Лобачевским, – меньше 180 градусов. «Опираясь на параллаксы [угол, под которым со звезды видна большая полуось земной орбиты] трёх неподвижных звёзд – Кейды, Ригеля и Сириуса, – он вычислил сумму углов в треугольнике, вершины которого находятся в концах земной орбиты [в перигелии и афелии – крайних точках большой полуоси эллипса] и в одной из этих звёзд. Он пришёл к выводу, что сумма эта отличается от 180⁰ меньше чем на 0,0003 секунды градуса. Да и точно ли произведены измерения?» [М. Колесников, «Лобачевский», стр. 161]. Последний вопрос не праздный, т.к. точность измерения параллаксов находилась тогда в пределах этой погрешности.

Этим же путём измерения углов треугольников шёл и Гаусс. Какое-то время он занимался геодезией, измеряя расстояния на земной поверхности методом триангуляции, смысл которого состоит в построении на местности систем треугольников. Вероятно, здесь он и задумался о треугольниках на сфере – сферических треугольниках. Известно, что сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. Обозначим углы произвольного сферического треугольника через α, β, γ и рассмотрим выражение α+β+γ–180⁰, которое называется избытком этого треугольника. На сфере это выражение всегда больше нуля, более того, чем больше площадь S сферического треугольника, тем больше его избыток. Между ними – линейная зависимость:

α + β + γ – π = KS,           (*)

где K – коэффициент пропорциональности – постоянный для любого треугольника на сфере. (В последней формуле я «плавно» перешёл от градусной меры углов к радианной, в которой 180⁰ = π). Так как «число K не зависит от выбора треугольника, его достаточно подсчитать для одного тре­угольника. Возьмём, например, треугольник ABC на рис. 1. Его избыток равен 90 градусам [т.к. дуги AC и AB идут по меридианам и составляют прямой угол с дугой BC, идущей по экватору; угол между меридиональными дугами тоже прямой (т.к. он составляет четверть полусферы), и в сумме эти три угла треугольника ABC дают 270⁰, минус 180⁰ в сумме получаем 90⁰] или, в радианной мере, π/2. Площадь же этого треугольника равна 1/8 площади сферы, т.е. πR²/2,  где R – радиус сферы. Подставим эти значения в формулу (*), получаем, что K=1/R²» [Н.Я. Виленкин, ст. «О кривизне» в журн. «Квант», №4, 1992]. Это и есть формула гауссовой кривизны для сферы!

Рис. 1 Четверть полусферы

Гаусс «предложил таким же образом измерять кривизну любой поверхности. На любой поверхности можно строить геометрию точно так же, как и на поверхности сферы. Роль прямолинейных отрезков играют при этом «кратчайшие» (их ещё называют геодезическими) линии, т.е. линии, длина которых меньше длины всех остальных линий, соединяющих данные две точки [как известно, на евклидовой плоскости эту роль играют прямые линии]. С ними впервые столкнулись геодезисты при измерении расстояний на поверхности Земли [поэтому они так и называются]» [Там же]. На этом пути он открыл одну теорему, которая так ему понравилась, что он назвал её замечательной (Egregium по латыни). Вот её формулировка, как её дал сам Гаусс: «Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему. Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной». Вот вам и объяснение, почему кипу нельзя «разгладить» на ровной доске! Действительно, кипа имеет криволинейную поверхность, т.е. в каждой её точке кривизна не равна нулю, а доска, т.е. плоскость, в каждой точке имеет нулевую кривизну. Более того, эта теорема позволила ему вывести формулу для гауссовой кривизны любой поверхности, причём эта поверхность необязательно как сфера имеет постоянную кривизну во всех точках. Таким образом, эта теорема отвечает на наш вопрос, поставленный в начале этого пункта, а именно: может ли человек, живущий на поверхности Земли, не выходя в космос, узнать, что Земля круглая? – Да, может, т.к. по критерию, данному нам В.В. Шароновым, Земля имеет ненулевую кривизну, а «эксперимент» Магеллана показал, что Земля круглая! Соединяя всё вместе, получаем ответ.

Но проблема состояла в том, что для трёхмерных поверхностей (в том числе для трёхмерной сферы) и выше размерностью кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется через выражение, которое позднее (в 1904 году) было определено как тензор в работах итальянских математиков Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита. Это выражение назвали в дальнейшем кривизной Риччи или тензором Риччи. Это далеко идущее обобщение вектора, только приложенного не к точке, а – к поверхности, на которой эта точка находится. Этим обобщением воспользуется в дальнейшем А. Эйнштейн, пришедший к мысли отождествить кривизну пространства в данной точке с действием в этой точке гравитации массивного тела.

Из теоремы Egregium Гаусса вытекал ещё один вывод, который не был замечен ни Гауссом, ни его современниками, а именно – геометрии, отличные от евклидовой, существуют (!!!) и допускают реализацию на поверхностях трёхмерного пространства. Геометрия Евклида лишь идеальный частный случай. Первым, кто обратил на это внимание в своём знаменитом докладе в 1854 году, произнесённом в присутствии Гаусса при вступлении в должность приват-доцента Геттингенского университета, был Бернхард Риман.

Замечание_1. Для любителей математики приведу одну цитату из заметки Л. Е. Евтушика и А. К. Рыбникова в Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1994, номер 2 «Влияние идей Лобачевского на развитие дифференциальной геометрии», по поводу того вывода, который не был замечен Гауссом. «При изучении геометрии, индуцируемой на поверхностях трёхмерного евклидова пространства, было установлено, что поверхность изометрична двумерному евклидову пространству лишь в том случае, когда её полная кривизна равна нулю [другими словами, отображение поверхности на евклидову плоскость, сохраняющее расстояние между точками этой поверхности и угол между прямыми (геодезическими, в общем случае), возможно только тогда, когда её кривизна равна нулю. Мы видели, что даже в случае кипы это уже не так. А возьмите глобус, наверное, каждый помнит, как его поверхность – карта на нём – отображается на плоскости в проекции Меркатора]. Но для подавляющего большинства поверхностей кривизна отлична от нуля и, вообще говоря, не является постоянной. Следовательно, их геометрия отлична от евклидовой»! И, следовательно, неевклидовы геометрии существуют! Конец Замечания_1.

Замечание_2. Позвольте привести ещё одну цитату, дающую возможность связать кривизну поверхности, её риманову метрику и тензор Риччи.

«… Поговорим о формах и размерах. Наука о формах — это такая «резиновая геометрия», научно называется «топология», когда мы можем изучать объекты в пространстве, не заботясь об их размерах. Рассмотрим замкнутые формы и попробуем их классифицировать. Нульмерные — есть только одна: точка. Одномерные — только окружность. Двумерные — чуть посложнее, их 4 типа, но очень красиво: есть сфера, есть бутылка Клейна — это поверхность неориентируемая, она «засунута» сама в себя, есть бублик и крендели разного типа. Очень несложно и очень красиво. Трёхмерных форм оказывается уже восемь. Они описаны американским математиком Уильямом Тёрстоном — замечательным геометром. Эта классификация уже чрезвычайно сложна, она была недавно доказана Перельманом. А четырёхмерные формы — непостижимы. Есть много результатов, но нет даже гипотезы, как гипотеза геометризации в размерности 3. (Уже это сложно, там участвует геометрия Лобачевского, торическая, сферическая и так далее).

А что такое размер? Когда мы мерим длины, как мы это делаем? Мы можем это делать либо линейкой большой, либо очень маленькой линеечкой, либо линейкой, которая меняется от точки к точке. Это называется риманова метрика. Её придумал, как сказал бы Арнольд [ученик Колмогорова], Пифагор. Ну, а Риман написал красивую формулу. Эту формулу пишут именно по причине её необычайной красоты, как-то она всех завораживает своим элегантным видом. В ней участвует … метрический тензор, который может меняться от точки к точке и задаёт все размеры. С его помощью мы можем измерять расстояния, площади, объёмы и прочие вещи. Ещё не Риман, уже не Пифагор, а точнее — Гаусс, ввёл понятие кривизны: поверхность бывает плоская, как стол, бывает искривлена, как сфера, а бывает — наоборот [сфера наоборот – седловидная поверхность]. Это описывается тензором кривизны Римана, объектом с четырьмя индексами, тоже его очень любят писать. И есть тензор Риччи, тоже объект с двумя индексами. Эти понятия — количественные характеристики, которые позволяют описывать свойство искривлённости данной геометрической формы. Они все выражаются через Риманову метрику, через метрический тензор.   

Тензор Риччи участвует в уравнениях Эйнштейна. Например, уравнения Эйнштейна для вакуума описывают всевозможные типы метрик. Можно сказать, всевозможные типы вселенной. Тензор Риччи, заданный метрикой, пропорционален метрическому тензору. Коэффициент пропорциональности и есть так называемая космологическая постоянная. Она маленькая или равна 0 — сегодня это неизвестно» (Леон Арменович Тахтаджян (студент матмеха 1967-72), взято из сборника «МАТМЕХ ЛГУ-СПбГУ»). Конец Замечания_2.

Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)

Идеи Римана, изложенные очень общо в его докладе 1854 года, были поняты одним Гауссом, который, по словам очевидцев, «ушёл с собрания в глубокой задумчивости». Гаусс вскоре после этого умер, и идеи Римана были забыты. О них вспомнили после публикации его доклада Дедекиндом со своими комментариями в 1866 году уже после кончины Римана.  Риман продолжил развитие идей дифференциальной геометрии, начатое Гауссом, но применительно к поверхностям трёх пространственных измерений и выше. Как уже было замечено в конце предыдущего пункта, кривизна таких поверхностей не выражается одним числом (гауссовой кривизной) в данной точке, а определяется выражением, которое можно представить в виде симметричной матрицы, названной впоследствии римановым тензором кривизны.

Риман сосредотачивает своё внимание на том случае, когда кривизна пространства имеет постоянное значение во всех его точках, и указывает, что «пространство постоянной нулевой кривизны есть евклидово пространство; пространство постоянной отрицательной кривизны приводит при n = 3 к геометрии Лобачевского. Пространство постоянной положительной кривизны при n = 2 по своей геометрии не отличается от евклидовой сферы, а при n = 3 и более даёт своеобразное развитие сферической геометрии, которая была названа геометрией Римана» [В.Ф. Каган, «Очерки по геометрии», стр. 450]. Остановимся поначалу и мы на пространствах постоянной положительной кривизны, к которым применима сферическая геометрия Римана. Чем они интересны для нашей темы?

Наша Вселенная не может вместить его, т.к. он – четырёхмерный!

Дело в том, что после трудов астронома Уильяма Гершеля (1738–1822) по определению формы нашей галактики Млечный путь и обнаружения им других галактик, стала постепенно осознаваться грандиозность нашей Вселенной и, прежде всего, всплыл извечный вопрос: бесконечна она или конечна. Если принять бесконечность Вселенной, то возникало два парадокса. Первый из них – парадокс Шезо – Ольберса – фотометрический. Кратко этот парадокс звучит так: «Почему ночью небо темное?» Проблема состоит в том, что если в бесконечном пространстве Вселенной равномерно рассеяны излучающие звезды, то в любом направлении на луче нашего зрения обязательно должна оказаться какая-то звезда, а значит, вся поверхность неба должна представляться нам ослепительно яркой, подобной поверхности Солнца; в действительности же ночное небо темное.

Позже немецкий астроном Хуго Зелигер (1849–1924) сформулировал другой космологический парадокс – гравитационный. Он заключался в том, что, согласно ньютоновской теории тяготения, в бесконечной Вселенной, однородно заполненной веществом, сила тяготения не имеет определенной конечной величины, т.е. может быть и бесконечной, что определить ньютоновским тяготением никак нельзя. Окончательно фотометрический и гравитационный парадоксы были разрешены лишь в теории эволюционирующей Вселенной, разработанной на основе общей теории относительности А. Эйнштейна в 1915 году.

Но математики и прежде всего Риман, подошли к решению этих вопросов иначе и гораздо раньше, в середине XIX века. А именно, Риман задался вопросом, какую геометрическую модель можно предложить в качестве формы Вселенной, которая не имела бы границы и в то же время была бы компактной, т.е. имела бы конечный размер, пусть и гигантский? Лучшим кандидатом на такую модель показалась ему на тот момент сфера, но, разумеется, не меньшей размерности, чем трёхмерная (имеются ввиду три пространственные координаты). Но тогда сферическую геометрию нужно было расширить до Римановой, т.е. разработать геометрию поверхностей любой размерности с постоянной положительной кривизной.

Действительно, сфера не имеет края, в какую бы сторону вы ни пошли. Так же очевидна и её компактность. Более того, сфера является краем или границей для шара, который она объемлет. Правда, размерность этого шара на единицу больше размерности объемлющей его сферы. Если речь идёт о поверхности нашей Земли, как о сфере, то легко себе представить, как мы, вкапываясь в землю лопатой, углубляемся в земной шар, т.е. в трёхмерное пространство (напомню, что поверхность Земли двумерна). Ну, а если эта сфера трёхмерная, как (предположительно) наша Вселенная, то где этот Шар, который она объемлет? В какую бы сторону нашего пространства мы ни полетели по прямой (в случае сферы – это геодезическая линия, представляющая большой круг сферы), вправо, влево, вверх, вниз, вперёд, назад, затратив труднопредставимое число лет, мы вернёмся в ту же точку, не встретив нигде этот Шар. Его для нас – нет! Наша Вселенная не может вместить его, т.к. он – четырёхмерный! А они, живущие в этом Шаре, видят нас? – Похоже, что да, со всеми нашими внутренностями. Для того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала трёхмерный куб. Гранями трёхмерного куба, составляющими его поверхность, являются квадраты. Их шесть. Ну, а что является гранью четырёхмерного куба? – Очевидно – трёхмерный куб. Этих граней восемь (четыре измерения умножить на два). Они составляют поверхность четырёхмерного куба. Заметьте – поверхность! Всё, что видит четырёхмерное существо в нашем трёхмерном мире, например, человека, замкнутого в камере с закрытой дверью и окнами, будет перед ним как на ладони. И он сможет опустить туда свой палец, как мы можем опустить палец в середину квадрата, по которому ползает двумерная букашка, не могущая из этого квадрата выползти. Но это существо может и войти в камеру, не открывая её окон и дверей. Вот вам пример. «После восьми дней опять были в доме ученики Его… Пришел Иисус, когда двери были заперты, стал посреди них и сказал: мир вам!» (Ин. 20:26).

Имеет ли наша Вселенная форму сферы или является «плоской» – вопрос, пока не решённый до конца. Более того, для сторонников инфляционной теории возникновения нашей Вселенной она вообще должна быть с высокой точностью «плоская», т.е. – евклидова (см., например, интервью с Вячеславом Мухановым в кн. «Прорыв за край мира» Бориса Штерна, Москва Троицк, 2014, стр. 232). Я же, имея в виду нашу тему, хочу перейти к другой «ветке» развития идей Римана. Для этого продолжим исторический экскурс.

Риманова геометрия

Мы до этого касались геометрии пространств с постоянной положительной кривизной. Геометрия же любой римановой поверхности может иметь любую кривизну, непрерывно меняющуюся от точки к точке. Но тогда эта кривизна выражается в каждой точке трёхмерной и выше поверхности в виде набора величин, группирующихся в виде симметричной матрицы (тензор кривизны Римана). С чего начать исследование структуры этой матрицы, отражающей геометрию поверхности? – С точки на этой поверхности, «обойдя» её вокруг, т.е. локально. Но какой радиус взять для этого круга? Если какой-то конечный, то кривизна поверхности внутри этого круга может измениться, и не один раз. Значит – малый радиус, а именно, чтобы не гадать на «кофейной гуще», – бесконечно малый! Математика уже встречалась с таким подходом в первой половине 17-го века в работах Пьера Ферма. Но Ферма исследовал кривые и ввёл понятие касательной линии к любой точке кривой. А здесь речь шла о поверхности, и не только двумерной, а трёхмерной и выше, и касательным к точке здесь была уже не линия, а пространство (в двумерном случае – плоскость). И, если по кривой мы идём в одну сторону или в другую, то по поверхности мы можем идти по геодезической кривой в одну сторону или в другую и тогда мы получаем один результат, а можем идти по другой, не геодезической кривой, и тогда получаем другой результат. Необходимо было найти такой математический аппарат для описания римановой поверхности, который сохранялся бы при переходе от точки к точке независимо от направления перехода и смены системы координат.

За поиск такого аппарата взялись лучшие математические умы второй половины 19-го века. Среди них Эльвин Кристоффель – непосредственный продолжатель идей Римана. Прежде всего, нужно было связать касательные пространства вдоль одной кривой как одно пространство, чтобы определить дифференцирование на поверхности этого пространства. Это далеко идущее обобщение того, что делал Ферма, т.к. у последнего касательные линии в каждой точке кривой, являющейся графиком некоторой функции на плоскости, были «связаны» им производной от этой функции в каждой точке. Но на поверхности всё сложнее, т.к. между двумя точками поверхности можно провести бесчисленное число кривых, одна из которых – геодезическая – является кратчайшей. Это единственная кривая, за которую можно было как-то ухватиться. Для решения этих проблем Кристоффелю пришлось вводить новый «инструментарий», о котором Ферма не мог даже и подозревать.  Отсюда и появились символы Кристоффеля. Они ещё не были тензорами, т.е. инвариантами, сохраняющими свою форму при смене системы координат. Тензорами их сделал Риччи, а его ученик Леви-Чивита определил для них связность, продолжив, таким образом, идеи Кристоффеля. Так появилась в конце XIX — начале XX веков Риманова геометрия – раздел дифференциальной геометрии, являющийся далеко идущим обобщением математического анализа, инициированного великим Ферма. Результаты Римановой геометрии были полностью использованы Эйнштейном при разработке им уравнения, применимого к пространствам различной величины, например, к нашей солнечной системе, в том числе и ко всей Вселенной. Так возникла общая теория относительности (ОТО).

Теория гравитации

Прежде чем перейти к идеям Эйнштейна, дающим возможность перебросить мост к нашей теме, вспомним уроки физики, которые нам давали в школе. Вот человек тащит за верёвку груз, лежащий на санях. Верёвка привязана к саням, и через неё передаётся усилие от человека к грузу. Нам рисовали вектор, идущий по верёвке. Длина вектора даёт нам величину усилия, например, одна сотая лошадиной силы, а стрелочка на конце вектора – направление усилия. Всё было понятно. Но вот нам рисуют картину движения нашей Земли вокруг Солнца, соединяя Солнце с Землёй прямой линией, по которой в одну сторону от Земли к Солнцу идёт вектор, изображающий центростремительную силу, удерживающую Землю на её орбите, – силу притяжения (гравитации). И от Земли в противоположную сторону идёт вектор, изображающий центробежную силу, пытающуюся оторвать Землю от Солнца. Они уравновешиваются и всё в порядке – Земля остаётся на своей орбите. Но где здесь верёвка, удерживающая Землю? Каким образом Земля притягивается к Солнцу? Где тот физический носитель, который и передаёт усилие Солнца чтобы удержать Землю? Вы скажете – гравитационное поле, и будете, скорее всего, довольны собой.

Понятие «поле» ввёл в физику Майкл Фарадей в первой половине XIX века. С помощью приборов, сконструированных по большей части им самим, он наблюдал в различных точках своей лаборатории действие электромагнитных сил и установил картину воздействия этих сил на вещество, из которого состояли приборы, в зависимости от расстояния до источника. Эта картина описывалась им в виде силовых линий. Эту физическую сущность, воздействующую на вещество, он и назвал полем, не зная механизма действия этого поля (думаю, что и сейчас нет общепринятой точки зрения на этот счёт!). А гравитационные волны были обнаружены только в 2015 году – через 100 лет после их предсказания ОТО! Что-то здесь не так с гравитационным полем, как физическим носителем гравитации.

четырёхмерное пространство, окружённое эллипсоидом нашей солнечной системы, как его трёхмерной поверхностью

Попробуем восстановить рассуждения Эйнштейна. Между Солнцем и Землёй находится пространство. И если для Канта пространство это лишь «субъективная форма восприятия нашим сознанием внешнего мира», то с открытием неевклидовой геометрии пространство воспринимается уже как «объективная реальность, независящая от нашего сознания и данная нам в ощущении» (помните эту крылатую фразу, противоречивую в своей основе?). Для Эйнштейна же это уже не просто объективная реальность, но и физическая сущность, описанная им как пространственно-временной континуум в его специальной теории относительности в 1905 году. Что же происходит с этой сущностью, когда в её пределах появляется массивное тело, например, наше Солнце? – Она искривляется! Её структура описывается метрическим тензором, определяющим расстояния между бесконечно близкими точками (локально) пространства-времени по всем возможным направлениям. (Надеюсь, что после затраченных мной усилий, эта фраза в общих чертах понятна). Луч света от далёкой звезды, пройдя расстояние в миллиарды световых лет и попадая в пределы пространства солнечной системы, продолжает свой путь по прямой, которая в этой системе есть геодезическая линия, т.е. замкнутая кривая, следовательно, искривляясь. Это явление Эйнштейн предсказал ещё в 1911 году. Из его уравнений, полученных им в 1915 году, он рассчитал величину этого искривления. Она была подтверждена наблюдением солнечного затмения в 1919 году. Что же происходит с планетами нашей солнечной системы? Они движутся по геодезическим замкнутым линиям вокруг Солнца, свободно (!) без всяких усилий в соответствии с принципом наименьшего действия (этот принцип был положен в основу другого подхода к выводу общего уравнения гравитации Давидом Гильбертом в 1915 году почти одновременно с Эйнштейном). Таким образом, структура пространства нашей солнечной системы представляет собой сферу, сплюснутую с полюсов и боков так, что планеты движутся по эллипсам, имеющим разные эксцентриситеты (т.е. по разному вытянутым), группирующимся около  плоскости экватора этой сферы (называемой эклиптикой) и имеющим у всех одинаковое отношение (один из инвариантов нашей солнечной системы!) между квадратами времени обращения их вокруг Солнца и кубами больших полуосей их орбит по третьему закону Кеплера (мы уже с этим встречались в одной из моих статей). Это – сфероид и даже эллипсоид, имеющий геометрию с непостоянной, но положительной кривизной.

Иные, но знакомые нам миры

Продолжим наши рассуждения, начатые в п. «Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)». Как можно было бы назвать четырёхмерное пространство, окружённое эллипсоидом нашей солнечной системы, как его трёхмерной поверхностью? – Например, Солнечным. Но, погодите, ведь богом Солнца в греческой мифологии называли Аполлона, а в египетской – Ра. Значит нашим далёким предкам что-то было известно об этом, для них это был реальный мир (а не мифический, как для нас), в котором реальные сущности, а не сказочные герои, действуют в соответствии со своим внутренним логосом! Неоплатоники, особенно Прокл, уже на закате античной цивилизации широко пользовались этим понятием.

А Юпитер, имеющий тоже довольно солидную массу (17 спутников он удерживает возле себя!), своим тяготением искривляет пространство вокруг себя. Как можно было бы назвать создаваемое им и невидимое нами четырёхмерное пространство? – Например, миром Зевса. А Марс – здесь аналогия напрашивается сама собой, «оправдывая» довольно туманные намёки в скрижалях Гермеса о вторжении на нашу Землю далёких пришельцев из того мира, разрушивших в одночасье цивилизацию Атлантов, а сейчас пытающихся разрушить и современный мир, играя с ним в «ядерный покер» по остроумному замечанию Г. Каспарова. И опять Атланты оказались на острие!

Куда же улетает душа наша?

Но вернёмся от иерархии этих пространств, которая позволяет нам по-другому взглянуть на древнюю мифологию и астрологию, к миру, создаваемому тяготением нашей планеты, в котором восстановился после воскресения Сын Человеческий и в котором при правильном выборе наших далёких предков могли бы жить мы. Спустя очень непродолжительное время после воскресения (не более получаса) Иисус явился Магдалине, которая, обезумев от счастья, попыталась броситься Ему на шею, но Он остановил её словами: «Не прикасайся ко Мне, ибо Я ещё не восшёл к Отцу моему и Отцу вашему, и к Богу Моему и Богу вашему» (Ин. 20:11-17). Труднейшее для понимания место Евангелия. В свете того, что было сказано выше, можно предположить, что сначала пальцы, затем кисти рук и, далее, сами руки Магдалины «утонули» бы в теле Христа. При этом она никакой боли не испытала бы, но отсутствие рук повергло бы её в шок. Иисус и остановил её жестом, предвидя такой исход. На месте рук оказались бы чёрные отверстия, как у «человека невидимки» в романе Герберта Уэллса. Но если принять это, то возникает некоторое противоречие с развитием дальнейших событий. А именно, я уже привёл выше цитату из Евангелия от Иоанна о явлении Христа на восьмой день ученикам. Апостола Фомы с ними не было. Когда тот появился среди них, они рассказали ему, что являлся живой Учитель, на что тот сказал, что не поверит, пока не увидит сам. Иисус явился на девятый день и первым делом обратился к Фоме, чтобы тот опустил свои пальцы в отверстия Его рук, оставленные гвоздями, чтобы убедиться в том, что это действительно Он. Странно, ведь Он знал, что может произойти с пальцами Фомы. Значит, какая-то трансформа уже произошла с Его телом. Возможно, здесь кроется причина того, что после кончины человека отмечают третий, девятый и сороковой дни. Кстати, на сороковой день Иисус вознёсся на глазах изумлённых учеников своих. Это выражено в Символе Веры следующим образом: «И восшедшаго на небеса, и седяща одесную Отца». Смею предположить, что Он оказался в бесконечномерном пространстве, или безмерном, или вообще «вышел» из пространства и времени, чтобы в любом конечномерном пространстве могли ощущать Его «присутствие», как и присутствие Его Небесного Отца.

Отвечая на вопрос, поставленный в прологе – «Выбор между чем и чем?», получается, что мы оказались из-за выбора наших предков в межеумочном проклятом мире, в котором всё разделено, «всё течёт, всё изменяется» и даже наша душа покидает тленную плоть, отделяясь и улетая от неё, как и было обетовано Создателем («смертью умрёшь»). Плоть остаётся здесь, ожидая своего часа. Куда же улетает душа наша? – В зависимости от силы своих «крыльев»: святые – в мир, «идеже присещает свет лица Твоего», как говорится в предпоследней утренней молитве. А верующие в Христа, – в обитель, уготованную Им для них («В доме Отца Моего обителей много» (Ин. 14:2)), которую православные называют миром мытарств, католики – чистилищем, где они изживают свои грехи, не инкарнируя снова в этот мир, чтобы не отягощать себя новыми грехами. А другие? – Кто куда. Есть и искусственные миры, в подражание Создателю сотворённые наместником вселенского зла в нашем мире (называют же его «обезьяной Бога»).

Тёмная материя

Ещё в 30-х годах прошлого века работавший в США швейцарский астроном Фриц Цвикки заметил, что в самых крупных известных на тот момент структурах Вселенной – скоплениях галактик – чего-то не хватает. Отдельные галактики в этих скоплениях двигались так быстро, что суммарной массы составляющих их звёзд не хватало, чтобы удержать систему связанной, и, если бы не какая-то «скрытая масса», эти скопления давно бы разлетелись в разные стороны. Эта гипотеза Цвикки в то время не вызвала большого резонанса и была забыта.

В 1965 году Вера Рубин, защитившая диссертацию под руководством Георгия Гамова о пространственном распределении галактик, начала работать в отделении земного магнетизма Института Карнеги, где молодой сотрудник Кент Форд только что построил высокоточный спектрограф, уникальный на то время. Рубин и Форд озадачились целью понять, с какими скоростями движутся звёзды в галактиках на разных расстояниях от центра, и выбрали для наблюдений ближайшую к нашей Галактике спиральную галактику Туманность Андромеды. Вывод, который они сделали в 1970 году на основе полученных данных, гласил: «Полной аналогии с планетарными системами в спиральной галактике Туманность Андромеды не существует. В планетарных системах в соответствии с законами Кеплера и линейные и угловые скорости планет монотонно убывают по мере удаления от звезды, а скорости вращательного движения звёзд и звёздной материи в галактиках по мере удаления от центра возрастают, достигая стабильного максимума».

Со временем результаты, полученные Рубин и Фордом, стали рассматриваться как свидетельство в пользу гипотезы Цвикки о наличии «скрытой массы» или, как её назвали физики, – невидимой тёмной материи, не испускающей электромагнитного излучения и рассеянной всюду по вселенной. Природа тёмной материи до сих пор неизвестна, но её наличие позволяет объяснить такие явления, как особенности вращения галактик, движение галактик внутри скоплений (что заметил впервые Цвикки).

пространства-поверхности, обнимающие пространства на единицу большей размерности, которые нами никак не видимы

Структура пространства спиральных галактик с точки зрения искривления его сильно гравитирующим центром очень напоминает нам таковую нашей солнечной системы – это эллипсоид, в центре которого ядро галактики (представляющее собой звёздный бальдж – скопление звёзд), сильно сплюснутый с полюсов и в меньшей степени с боков. Галактическое четырёхмерное пространство, окружённое этим эллипсоидом, как его трёхмерной поверхностью, нами не видимо вместе с веществом, которое в нём находится. Это вещество имеет огромную массу, которая так же невидима как тело (!), но гравитационно влияет на динамику вращения видимого вещества галактики. Чем вам не кандидат на тёмную материю? Судя по графикам, построенным Рубин, эта тёмная масса представляет собой гало, окружающее галактику. А мне напоминает скорее корсет, сдавливающий галактику извне и не дающий звёздным системам, подобным нашей солнечной, разлететься. Есть работы, показывающие это.

Гипотеза Пуанкаре

Поток Риччи – последний штрих в решении гипотезы Пуанкаре. Источником вдохновения для него послужил математический аппарат общей теории относительности Эйнштейна. А размерность последнего пространства с эллиптической/сферической геометрией, для которого математикам не удалось к 80-м годам прошлого столетия эту гипотезу решить, равнялась трём (для размерностей, начиная с четвёртой и далее, гипотеза к этому моменту была полностью доказана!), т.е. как раз случай геометрии пространств, полученных нами и для солнечной системы, и для нашего околоземного пространства, и для пространств спиралевидных галактик, и, наконец, для пространства всей Вселенной. Хочу ещё раз повторить – это пространства-поверхности, обнимающие пространства на единицу большей размерности, которые нами никак не видимы, т.е. воспринимающиеся нами как пустоты и даже не как пустоты, а как ничто!

Ввёл этот инструмент в дифференциальную геометрию американский математик Ричард Гамильтон в начале 80-х годов прошлого века. Стратегия введённого им инструмента заключалась в следующем: если уравнение Эйнштейна описывало кривизну пространства в бесконечно малой окрестности любой точки трёхмерной поверхности, то суммируя (интегрируя) эти кривизны по всей поверхности или по её части мы получали текучую (плывущую) кривизну всей поверхности, или её части (а кривизна, как нам уже известно, связана с гравитацией, по мысли Эйнштейна). Гамильтона осенила идея, а что, если «применить этот фокус, но в более общем плане – взять одну из простейших мер кривизны, именуемой кривизной Риччи [изменяющейся со временем!], и связать эти кривизны уравнением, определяющим, как кривизна Риччи должна изменяться со временем: уравнение потока Риччи. Согласно этому уравнению, кривизна должна была постепенно перераспределиться и стать как можно более равномерной. Другими словами, поток Риччи перераспределяет кривизну, забирая её из сильно искривлённых областей и перенося в менее искривлённые. Время идёт, и поверхность становится всё ближе и ближе к той единственной форме, что имеет постоянную положительную кривизну [положительный тензор кривизны], т.е. к евклидовой сфере» (Иен Стюарт,»Величайшие математические задачи», стр. 323), а это и требуется для доказательства гипотезы Пуанкаре. Эта стратегия работала безукоризненно в двумерном случае. Но в трёхмерном при всех окрыляющих успехах Гамильтон упёрся в одну проблему (сингулярность потоков Риччи), которую он так и не смог преодолеть.

В свой первый приезд в США (1992-1996) Григорий Яковлевич Перельман был ознакомлен Гамильтоном с сутью этой проблемы. Отклонив все заманчивые предложения о дальнейшей его работе, поступавшие ему в Америке, Перельман возвратился домой и углубился в решение проблемы сингулярности потоков Риччи.

И вот на сайте arXiv в ноябре 2002 года появляется препринт о потоке Риччи, подписанный «Гриша Перельман». Эта статья вызвала немалый переполох. В ней Григорий Яковлевич сделал заявление, что сингулярность потока Риччи им преодолена с помощью процедуры, которая была названа «хирургией». Две другие статьи, опубликованные на этом же сайте несколькими месяцами позже, добавили рассуждениям Перельмана убедительности: у математиков возникло чувство, что этот человек знает, о чём говорит. «Доказательство Перельмана отличается глубиной и элегантностью и открывает перед исследователями целый новый мир топологии. Автор сумел реализовать план Гамильтона по потоку Риччи, придумав хитрые способы обойти существование сингулярностей. Один из таких способов заключается в том, чтобы изменить масштабы пространства и времени и таким образом избавиться от сингулярности. Когда такой подход не работает, говорят, что сингулярность схлопывается. В подобных случаях Перельман анализирует геометрию потока Риччи в подробностях и разбирает, как именно может произойти схлопывание. По существу, пространство как бы выпускает бесконечно тонкие щупальца, иногда во множестве, как ветви дерева. Если какая-то ветка близка к схлопыванию, её можно срезать и заменить гладкой крышечкой [«хирургия»!]. Перед некоторыми из этих щупальцев поток Риччи буксует: если так, оставляем их в покое. Если нет, поток Риччи можно запустить заново. В итоге некоторые щупальца заменяются гладкими крышками, а другие временно прерываются, но поток продолжает работать [заставляя пространство постепенно перераспределиться].

Но есть один принципиально важный технический момент: операция обрезки не должна бесконечно ускоряться, так чтобы за конечное время проводилось бесконечное число операций. Эта часть доказательства – одна из сложнейших.» (Там же, стр. 329).

На этом можно было бы и закончить, но есть два момента, которые зацепили меня в его единственном интервью журналисту Александру Забровскому, приехавшему для этого специально из Тель-Авива в 2011 году в Петербург.

Первый момент. Перельман отвечает: «Я умею вычислять пустоты».

Самое важное – это выбор, который мы делаем на каждом шагу, как только попадаем в «сингулярное схлопывание».

О каких пустотах говорит Григорий Яковлевич? Может быть о тех, которые я выделил жирным шрифтом выше? Тогда по графикам распределения угловых скоростей звёзд и звёздной пыли в спиральных галактиках, опубликованным Верой Рубин, можно было бы судить (на основании неведомых мне математических средств) о распределении тёмной материи в невидимых нами пространствах четырёх измерений. Кое-что проясняется дальше.

– В двадцать с небольшим лет Вы сказали новое слово в науке… 

– Никаких слов я не говорил. Просто продолжал исследовать проблемы изучения свойств трехмерного пространства Вселенной. Это очень интересно.

– Пытались объять необъятное?

– Совершенно верно. Только ведь любое необъятное тоже объятно [вспомним сферы, не имеющие края, но компактные]. Диссертацию писал под руководством академика Александрова. Тема была несложной: «Седловидные поверхности в евклидовой геометрии» [«седловидные поверхности» – это поверхности геометрии Лобачевского, имеющие отрицательную кривизну]. Можете представить себе в бесконечности равновеликие и неравномерно удаленные друг от друга поверхности? Нам нужно измерить «впадины» между ними. [«Равновеликие и неравномерно удаленные друг от друга поверхности» — это сфероподобные пространства, искривлённые гравитирующей массой звёздных систем, подобных нашей солнечной. Между ними – «впадины», вызванные отсутствием больших гравитирующих масс, геометрически представляемые седловидными].

— Это теория?

— Это уже практика. По какой орбите полетит космический корабль к созвездию Псов? Какие препятствия встретит на своем пути. [Предположим, пролёт корабля через невидимое нам пространство, «обёрнутое» сфероподобной поверхностью звёздной системы, можно совершить очень быстро с помощью неизвестного нам механизма, а вот седловидные поверхности могут представлять препятствия. Представьте, например, себе геометра А.Д. Александрова, который даёт Перельману задачу, в которой механизмы пролёта неизвестны, да и неважны, а важна только геометрическая постановка].

— Значит, каждая ваша теоретическая разработка имеет прикладное значение?

— Безусловно. Для чего столько лет нужно было биться над доказательством гипотезы Пуанкаре? Попросту суть ее можно изложить так: если трехмерная поверхность в чем-то похожа на сферу, то ее можно расправить в сферу. «Формулой Вселенной» утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Сыграет это доказательство большую роль в развитии нанотехнологий.

— Значит, «бодрые» «жизнеутверждающие» доклады «пионеров» этой отрасли …

— Абсолютная чепуха и бессмыслица. Попытка построить дом на песке … Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот». Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности … Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?!

Второй момент. «Я знаю, как управлять Вселенной».

Здесь проще. Действительно, представим себе участок Вселенной, сильно деформированный гравитацией массивных образований (чёрных дыр, например; см. картинку в начале статьи). И вот Григорий Яковлевич создаёт поток Риччи для этого участка и запускает его, применяя «хирургию» там, где это необходимо. Участок – трёхмерная поверхность – постепенно расправляется в сферу, а значит «выправляется» и пустота внутри этой поверхности. Пространство с тёмной материей внутри гармонизируется! И всё это делается за конечное время, как и доказал Перельман.

Теперь можно перебросить мостик к первому моменту. Пример кипы даёт геометрию поверхности, которая является двумерной сферой с положительной кривизной. Эту поверхность никак не удастся разгладить на столе без разрезания. И в то же время она не образована какой-то гравитирующей массой; значит причина кривизны глубже, чем просто гравитация по Эйнштейну. Но тогда можно говорить о кривизне пространства окружающей нас ауры. Оно может быть настолько искривлено нашим выбором зла, что превращает нас в исчадие ада. И вот приходит Перельман и предлагает нам метод выхода из этого кошмара – нечто похожее на поток Риччи, (например, духовную практику исихастов) который выправляет сложную геометрию нашего духовного пространства и даёт нам надежду выйти из ада.

Пойдём дальше. А социум, социальное общество разве не имеет такую же ауру, эгрегор, как называл это образование Даниил Андреев в «Розе Мира»? Разве оно не может иметь искалеченную кривизной окружающего её пространства пустоту? За примерами далеко ходить не надо! И вот приходит на помощь этому обществу Григорий Яковлевич, вычисляет эту искалеченную пустоту и предлагает уравнение – поток Риччи, который даёт выход из этого тупика. Но что самое важное в этом потоке? – Самое важное – это выбор, который мы делаем на каждом шагу, как только попадаем в «сингулярное схлопывание». Этот выбор заставляет нас «обрезать щупальца» (наши грехи), «сглаживая» образовавшиеся дырки и запуская поток снова в новой конфигурации.

Вот так можно было бы объяснить с точки зрения всего изложенного выше слова Перельмана: «вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот»»!

Эпилог

Уже более двух тысяч лет тому назад сошёл в наш мир, восприняв на Себя нашу смертную плоть, Сын Божий, чтобы принести нам благую весть (евангелие по-гречески) о том, что Царство Небесное, которого мы достойны по замыслу Творца, приблизилось к нам, и каждый, верующий в Него, может войти в этот иной мир. В статье, которую вы только что прочитали, я постарался с математической необходимостью показать, что Царство Небесное – вопрос уже не веры, а знания, выработанного человечеством за последние двести лет! Вера и знание составляют вместе ведение: «Аз буки веди глаголь добро …» – так начиналась молитва прп. Кирилла, помогавшая славянам запомнить новый алфавит их языка, разработанный им вместе с прп. Мефодием в IX веке по РХ. Итак, мы ведаем теперь, что это Царство рядом с нами, вернее – внутри нас, но не так, как сердце, или печень, или какой-то иной наш внутренний орган, а духовно, т.е. и в нас как духовных существ, и не в нас как плотских творений. «Царство Моё не от мира сего!» было сказано прокуратору Иудеи Понтию Пилату.

пишем уравнение Эйнштейна для этого музыкального произведения, имея ввиду под кривизной не гравитацию, а его своеобразную геометрию, как у кипы.

Каков же этот иной мир? – Прежде всего, в нашем мире он проявляется, похоже, через гравитационное поле, т.е. гравитация являет себя как универсальная сущность, пронизывающая все конечномерные миры нашей Вселенной. – А как быть с электромагнитным полем, т.е. со светом? – Похоже, и свет присущ иному миру, но без «агрессивной» составляющей, способной сжигать. Пример тому – куст, охваченный огнём, но не сгорающий, явленный пророку Моисею. Далее, этот же свет проявляет себя с невероятной интенсивностью в нашем мире. Пример – преображение Христа на горе Фавор, не явленное Им никому, кроме трёх его учеников, когда стало светло как днём, а одежды Христа стали белее снега. «Омыеши мя, и паче снега убелюся» – так пел царь Давид в 50-ом псалме. Похоже, физика иного мира имеет отличия, а «агрессивная» составляющая света в нашем мире есть результат проклятья за неправильный выбор наших прародителей? – Как знать …

В докладе Римана 1854 года можно найти обобщения, от которых буквально дух захватывает. Действительно, можно изучать геометрию поверхностей или пространств, которые Риман назвал общим словом «многообразие». Такие многообразия могут состоять не только из точек, прямых, плоскостей, но и из звуков, цветов и вообще чисто абстрактных объектов, из чисел и числовых групп. А теперь представьте себе иерархию многообразий планет солнечной системы, которая была рассмотрена Платоном в диалоге «Тимей» и впервые «исчислена» законами Кеплера, и связанную с ней иерархию звуковых многообразий. Тогда, если вам повезёт, вы услышите гармонию сфер, как Пифагор или Константин Сараджев, соединяющую эти иерархии в единое целое. Можно наблюдать геометрию цветового многообразия какой-нибудь картины, уводящую нас в другой мир, что мы, собственно, и пытаемся всегда делать (часто не осознавая этого, на интуитивном уровне), глядя на картину, попадая иногда с нею в резонанс. Можно по-новому взглянуть и на геометрию кругов ада в «Божественной комедии» Данте. Да мало ли что ещё?! Достаточно лишь определить количество независимых координат, например, амплитуду и частоту колебаний звука, и мы имеем элемент двумерного многообразия музыкального произведения. Взяв в качестве расстояния между звуками интервал, мы получаем метрику и, как следствие, метрический тензор кривизны этого многообразия. А дальше … пишем уравнение Эйнштейна для этого музыкального произведения, имея ввиду под кривизной не гравитацию, а его своеобразную геометрию, как у кипы. В качестве решения этого уравнения мы получаем, например, расширяющуюся Вселенную последней симфонической поэмы А.Н. Скрябина «Прометей». В качестве ключа для визуализации процесса расширения Вселенной в этом произведении можно использовать партию «Люче» – «Света», специально разработанную композитором для этой поэмы.  Мне посчастливилось наблюдать в конце восьмидесятых по ленинградскому телевидению результат восстановления этой партии с помощью немыслимой лазерной установки коллективом энтузиастов из Ленинградского университета. Не помню, к сожалению, как выглядел знаменитый скрябинский аккорд в начале симфонии, изображающий хаос перед рождением Вселенной, но в дальнейшем картина постепенно структурировалась, превращаясь к концу в исходящую из точки раскручивающуюся спираль! И всё это открывает нам новые миры …